在之前的發(fā)文中,歐拉公式推導(dǎo)過程中有一處筆誤,將sin(x)和cos(x)的泰勒展開式顛倒,本次更新特別進(jìn)行更正。在此,特別鳴謝"不逃避,不回頭,不后退!"這位粉絲朋友。
正文:
在無線通信中信息的傳遞是通過電磁波的形式傳遞出去的。電磁波可以用一系列不同頻率的正弦函數(shù)來表示,我們可以利用正弦信號(hào)的幅度、頻率、相位這三個(gè)特性進(jìn)行信號(hào)的調(diào)制。在進(jìn)行信號(hào)處理時(shí),如果使用正弦信號(hào)進(jìn)行分析,就需要進(jìn)行復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算,計(jì)算會(huì)相當(dāng)?shù)姆爆崱?/p>
不過,一個(gè)大牛早就幫我們找到了一個(gè)新的方向。他就是瑞士的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——萊昂哈德.歐拉,他提出了一個(gè)可以說是世界上最完美的公式——?dú)W拉公式,在這個(gè)公式中將三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)完美的關(guān)聯(lián)到一起。于是,我們就可以使用復(fù)指數(shù)信號(hào)進(jìn)行信號(hào)分析,對(duì)于復(fù)指數(shù)來說,其運(yùn)算比較簡潔,我們通常會(huì)使用復(fù)指數(shù)來替代正弦信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。
廢話不多說,直接上公式!
e是自然數(shù);
i是虛數(shù),在通信里我們常用j表示;
cos是余弦函數(shù);
sin是正弦函數(shù);
x是以弧度單位的變量;
歐拉公式的推導(dǎo)
對(duì)于公式推導(dǎo)是最讓人頭疼的,但是不要怕,大家暫時(shí)只要做個(gè)了解就好,因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中也不會(huì)讓來我們推導(dǎo)這個(gè)公式,我們只要記住這個(gè)公式即可。下面我們看看歐拉公式的推導(dǎo)過程。
在歐拉公式推導(dǎo)需要用到泰勒級(jí)數(shù),先讓我們看一下泰勒級(jí)數(shù)。
公式中的變量z可以用ix帶入,得到表達(dá)式(1):
因?yàn)閟inx和cosx的泰勒展開式,如下表達(dá)式(2)和(3):
所以,最后將表達(dá)式(2)和表達(dá)式(3)帶入到表達(dá)式(1),即可得到歐拉公式。
幾何意義
因?yàn)闅W拉公式右邊cosθ + i sinθ是一個(gè)復(fù)數(shù),我們可以將它在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上表示,因此,e^(iθ)就是單位圓上的點(diǎn),實(shí)部是cosθ,虛部是sinθ,對(duì)應(yīng)的是從原點(diǎn)到A,輻角為θ,長度為1的單位向量。
關(guān)于虛數(shù)i我們該怎么理解呢?
我們先來看看復(fù)數(shù)和復(fù)指數(shù)相乘會(huì)是什么情況?例如,復(fù)數(shù)z=r(cos(φ) + isin(φ))。
根據(jù)歐拉公式,可知:
復(fù)數(shù)z和復(fù)指數(shù)e^(iθ)相乘:
我們看到當(dāng)復(fù)指數(shù)乘以復(fù)數(shù),相當(dāng)于這個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)θ,θ大于0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),小于0則順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。
現(xiàn)在我們來看看復(fù)數(shù)i,我們將它換一種形式表示。當(dāng)θ=π/2時(shí),i=cos(π/2) + i sin(π/2),再根據(jù)歐拉公式得:
所以復(fù)數(shù)與i相乘,就相當(dāng)于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。
復(fù)指數(shù)信號(hào)
對(duì)于復(fù)指數(shù)信號(hào),我們可以再引入一個(gè)時(shí)間變量t,θ隨著時(shí)間t以角速度ω變化,即θ=ωt+φ。因此,復(fù)指數(shù)信號(hào)可以表示為:
根據(jù)ω = 2πf,也可表示為:
A;幅度;
ω:角速度;
f:頻率;
φ:初相;
復(fù)指數(shù)信號(hào)是什么樣的呢?下面的圖形就是復(fù)指數(shù)信號(hào)的運(yùn)動(dòng)軌跡,它的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋前進(jìn)的三維圖形,從圖中可以看出,復(fù)指數(shù)信號(hào)在復(fù)平面上的投影是個(gè)圓,在實(shí)軸和虛軸上的投影分別是余弦和正弦函數(shù)。
其實(shí),復(fù)指數(shù)信號(hào)并不簡單,但是其運(yùn)算的簡潔性,恰恰為復(fù)雜的信號(hào)處理運(yùn)算提供了簡潔的數(shù)學(xué)工具。