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    • 1.什么是位移電流密度
    • 2.位移電流密度的定義式
    • 3.位移電流密度的導(dǎo)出方法
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位移電流密度

2023/07/11
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位移電流密度是一種在電磁學(xué)中用于描述電場變化引起的電流現(xiàn)象的物理量。它是指由于電場的變化而導(dǎo)致的自由電子或電荷的位移所產(chǎn)生的電流密度。位移電流密度在電磁感應(yīng)、電容器充放電和介質(zhì)中的極化等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用。

1.什么是位移電流密度

位移電流密度是由麥克斯韋方程組中的法拉第電磁感應(yīng)定律得出的一個(gè)概念。根據(jù)這個(gè)定律,當(dāng)電場隨時(shí)間變化時(shí),會(huì)在空間中產(chǎn)生一個(gè)變化的磁場,從而導(dǎo)致位移電流。位移電流密度根據(jù)電場的變化率來計(jì)算,它與真正的電子電流不同。

位移電流密度的產(chǎn)生是由于電場對(duì)自由電子或電荷的力的作用,使它們發(fā)生位移。通常情況下,位移電流密度很小,只有在電場變化較快的情況下才會(huì)顯著影響電路行為。

2.位移電流密度的定義式

位移電流密度可以通過以下定義式來表示:

其中,J<sub>d</sub>是位移電流密度,ε?是真空中的介電常數(shù),?E/?t是電場E隨時(shí)間的變化率。

這個(gè)定義式表明,位移電流密度與電場的變化率成正比,且與介電常數(shù)相關(guān)。在真空中,介電常數(shù)等于真空介電常數(shù),因此這個(gè)定義式可以簡化為:

3.位移電流密度的導(dǎo)出方法

要導(dǎo)出位移電流密度的定義式,我們可以從麥克斯韋方程組中的法拉第電磁感應(yīng)定律開始。該定律表示變化的磁場會(huì)產(chǎn)生沿閉合回路的電動(dòng)勢。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,我們有:

∮<sub>S</sub>B·dl = -μ??Φ<sub>B</sub>/?t

其中,∮<sub>S</sub>B·dl表示磁場B沿閉合回路S的環(huán)路積分,Φ<sub>B</sub>表示磁場B通過閉合回路S的磁通量,μ?表示真空中的磁導(dǎo)率。

根據(jù)斯托克斯定理,環(huán)路積分可以轉(zhuǎn)化為對(duì)磁場的曲面積分。因此,上述式子可以改寫為:

∫<sub>S</sub> (?×B)·dS = -μ??Φ<sub>B</sub>/?t

根據(jù)定義,位移電流密度J<sub>d</sub>等于磁場的旋度(即?×B)。所以,我們有:

∫<sub>S</sub> J<sub>d</sub>·dS = -μ??Φ<sub>B</sub>/?t

由于Φ<sub>B</sub>是電場E的時(shí)間變化率的負(fù)數(shù)(即Φ<sub>B</sub> = -?Φ<sub>E</sub>/?t),我們可以將上述式子改寫為:

∫<sub>S</sub> J<sub>d</sub>·dS = μ??Φ<sub>E</sub>/?t

根據(jù)高斯定律,電場通過一個(gè)閉合曲面的通量等于該曲面內(nèi)的電荷總量。因此,對(duì)于一個(gè)小體積元δV,我們有:

∮<sub>S</sub> E·dA = 1/ε? ∫<sub>V</sub> ρ dv

其中,E表示電場強(qiáng)度,A表示曲面的面積矢量,ε?表示真空中的介電常數(shù),ρ表示電荷密度。

將電場E替換成-?Φ<sub>E</sub>,并應(yīng)用斯托克斯定理,上述式子可以改寫為:

∮<sub>S</sub> -?Φ<sub>E</sub>·dA = 1/ε? ∫<sub>V</sub> ρ dv

根據(jù)定義,電場的散度等于電荷密度的比例,即?·E = ρ/ε?。因此,上述式子可以再次改寫為:

∮<sub>S</sub> -?Φ<sub>E</sub>·dA = ∫<sub>V</sub> (?·E) dv

根據(jù)向量恒等式,上述式子可以簡化為:

∮<sub>S</sub> -?Φ<sub>E</sub>·dA = ∫<sub>V</sub> ?·E dv

應(yīng)用高斯定律,我們知道∮<sub>S</sub> -?Φ<sub>E</sub>·dA是電場通過閉合曲面S的通量。因此,上述式子可以進(jìn)一步簡化為:

∫<sub>V</sub> ?·E dv = ∫<sub>V</sub> ρ dv

由于體積元δV是任意選取的,上述式子成立對(duì)于整個(gè)體積V。因此,我們得到了一個(gè)重要的結(jié)論:

?·E = ρ

將這個(gè)結(jié)果代入前面推導(dǎo)的表達(dá)式中,我們有:

∫<sub>S</sub> J<sub>d</sub>·dS = μ??Φ<sub>E</sub>/?t

進(jìn)一步簡化得到:

∫<sub>S</sub> J<sub>d</sub>·dS = -μ??(∫<sub>V</sub> ρ dv)/?t

根據(jù)體積分和時(shí)間導(dǎo)數(shù)的可交換性,并且考慮到任意性的選擇,我們可以得到:

∫<sub>S</sub> J<sub>d</sub>·dS = -μ?∫<sub>V</sub> (?ρ/?t) dv

根據(jù)電荷守恒定律,電荷是守恒的,因此?ρ/?t = 0。所以,最終我們得到:

∫<sub>S</sub> J<sub>d</sub>·dS = 0

這意味著位移電流密度J<sub>d</sub>是一個(gè)無源場,沒有起源于真正的電子運(yùn)動(dòng)。

綜上所述,通過推導(dǎo)和應(yīng)用麥克斯韋方程組中的法拉第電磁感應(yīng)定律、高斯定律和電荷守恒定律,我們可以導(dǎo)出位移電流密度的定義式,并理解其在電磁學(xué)中的物理意義和作用。

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