沖激響應(yīng)

沖激響應(yīng)是信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)重要概念，描述了系統(tǒng)對(duì)單位沖擊信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程。在時(shí)域中，沖激響應(yīng)等價(jià)于系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。沖激響應(yīng)經(jīng)常被用來(lái)分析和設(shè)計(jì)信號(hào)處理系統(tǒng)，例如濾波器、均衡器等。

1.沖激響應(yīng)是什么

沖激響應(yīng)是指線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)單位沖擊信號(hào)的響應(yīng)函數(shù)。單位沖擊信號(hào)是一個(gè)幅度為1，寬度極窄的信號(hào)，其在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有一個(gè)高斯形狀或非常尖銳的峰值。任何信號(hào)可以看作是許多單位沖擊信號(hào)的疊加。

假設(shè)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，則其沖激響應(yīng)可表示為：

h(t) = y(t), when x(t) = δ(t)

其中δ(t)為單位沖擊信號(hào)，因?yàn)橹挥性谶@種情況下系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng)是唯一確定的。

2.沖激響應(yīng)分類(lèi)

根據(jù)特性，沖激響應(yīng)可以分為有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)和無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)兩種。

有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)指系統(tǒng)對(duì)單位沖擊信號(hào)的響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，即在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)響應(yīng)完畢。這種響應(yīng)通常出現(xiàn)在數(shù)字濾波器中，其系統(tǒng)函數(shù)具有有理函數(shù)形式。

無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)指系統(tǒng)對(duì)單位沖擊信號(hào)的響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的，響應(yīng)將一直存在于時(shí)間軸上。這種響應(yīng)通常出現(xiàn)在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，其系統(tǒng)函數(shù)具有分?jǐn)?shù)階或者冪函數(shù)的形式。

3.沖激響應(yīng)形成條件

在系統(tǒng)模型中，要求系統(tǒng)必須是線性時(shí)不變的，否則不能使用沖激響應(yīng)來(lái)描述其響應(yīng)特性，而需要使用其他方法來(lái)區(qū)分和描述。因此，當(dāng)我們想要使用沖激響應(yīng)來(lái)解析系統(tǒng)時(shí)，必須先檢驗(yàn)系統(tǒng)是否滿足線性時(shí)不變特性。

系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性取決于如下兩個(gè)條件：

• 線性：系統(tǒng)的輸出必須滿足疊加原理，即對(duì)于任意xi(t)和xi1(t)，其輸出y1(t)=x1(t)*h(t), y2(t) = x2(t)*h(t)，則y(t)=c1*y1(t)+c2*y2(t) = c1*x1(t)*h(t)+c2*x2(t)*h(t) = (c1*x1(t)+c2*x2(t))*h(t)。
• 時(shí)不變：系統(tǒng)的輸出必須和時(shí)間t無(wú)關(guān)，即對(duì)于所有輸入信號(hào)xi(t)和時(shí)間t0，其輸出為y(t)=x(t-t0)*h(t)