調(diào)制中的頻譜混疊

人類在無線通信的實踐過程中使用信號調(diào)制的方式來將傳遞的信號的頻譜搬移到高頻，通過天線完成電磁波的發(fā)送與接收。這種信號調(diào)制方式作為信號頻譜分析的應(yīng)用，也是信號與系統(tǒng)課程中的重要內(nèi)容。

▲ 無線通訊方式及其天線

本文對信號幅度調(diào)制和解調(diào)進(jìn)行討論。通過公式、波形、頻譜分析對幅度調(diào)制中的混疊現(xiàn)象進(jìn)行描述。

幅度調(diào)制

信號調(diào)制中，幅度調(diào)制形式簡單，應(yīng)用廣泛。在形式可以描述成信號與載波信號的乘積關(guān)系。在實際工程中，載波信號的頻率通常遠(yuǎn)大于信號的最高頻率。后期通過同步解調(diào)方式，可以從調(diào)制信號中恢復(fù)出原來的信號。

下面公式描述了幅度調(diào)制（載波抑制調(diào)幅）的過程：

實現(xiàn)的系統(tǒng)框圖顯示如下：

▲ 信號幅度調(diào)制的系統(tǒng)框圖

下面通過波形顯示了幅度正弦調(diào)制的過程。其中信號的頻率為 1kHz，載波的頻率為 30kHz。這樣選擇只是為了能夠從波形上還可以看出兩個信號的波形。實際中往往載波的頻譜比調(diào)制信號的頻率高出兩三個數(shù)量級以上。

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▲ 載波信號與低頻調(diào)制信號

下圖顯示了信號與載波信號相乘之后的調(diào)幅波形。

▲ 幅度調(diào)制信號

幅度調(diào)制后的信號頻譜是原來信號的頻譜分別左右搬移到載波頻率附近的位置，形成高頻信號。下面顯示了前面正弦信號調(diào)制后的頻譜。

▲ 載波抑制幅度調(diào)制信號的頻譜

下面顯示了對高斯信號調(diào)制后的信號波形：

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▲ 調(diào)制信號與載波信號

高斯信號條幅后的波形如下圖所示。它對應(yīng)的頻譜與前面正弦波調(diào)制后的頻譜相比只是將原來的一對沖激頻譜改成了高斯信號頻譜。這是由于高斯信號的傅里葉變換也是高斯信號。

▲ 高斯信號調(diào)制后的波形

▲ 高斯信號調(diào)制信號頻譜示意圖

同步解調(diào)

相比與普通調(diào)幅信號，這種載波抑制的調(diào)幅需要使用同步檢波的方式來解調(diào)。具體過程通過數(shù)學(xué)描述如下：

將調(diào)幅波形再乘以載波信號，相當(dāng)于再幅度調(diào)制。在生成信號中包括兩個成分，一個是信號本身，幅度降低了一半；另一個是信號與兩倍的載頻波形的乘積。后面再通過一個低通濾波器便可以將調(diào)制信號進(jìn)行恢復(fù)。

下圖顯示了同步解調(diào)的過程 以及各部分的波形。

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▲ 同步解調(diào)的過程波形圖

對于前面給出的實驗波形，下面繪制出了信號乘以載波之后的波形。可以看出，其中的低頻分量就是被調(diào)制的信號。

▲ 調(diào)幅信號乘以載波信號以及其中的低頻信號

▲ 高斯信號同步解調(diào)后的波形

頻率混疊

在前面講述信號的幅度調(diào)制與解調(diào)過程中，都是假設(shè)信號的頻譜遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于載波的頻率。這樣信號被調(diào)制后，它的頻譜搬移到高頻時，左右的頻譜之間沒有重疊。但是如果調(diào)制頻譜低，小于信號中最高頻率，那么調(diào)制后的信號頻譜中，左右兩個搬移后的頻譜之間就會有混疊。這就為后面進(jìn)行信號恢復(fù)埋下了隱患。

下面將前面實驗中載波的頻率從原來的 30kHz，降低到 0.5kHz，給出對應(yīng)的調(diào)制波形。

▲ 高斯信號與低頻的載波信號

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▲ 高斯信號低頻調(diào)幅后的波形

同樣使用同步解調(diào)，所得到的信號中，信號本身與兩倍頻調(diào)制的信號之間頻譜也同樣存在著混疊，這樣就會使得低通濾波器無法將信號本身恢復(fù)出來了。

下圖顯示了上面調(diào)幅信號與載波信號相乘之后的結(jié)果（藍(lán)色的 AM 曲線），對比原來的高斯信號（橙色 Low Frequency 曲線），可以看出使用普通的低通濾波器很難從藍(lán)色曲線恢復(fù)出橙色曲線了。

▲ 調(diào)幅信號與載波信號乘積之后的信號

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▲ 高斯調(diào)制信號頻譜混疊示意圖

復(fù)震蕩信號調(diào)制

為了避免幅度調(diào)制后的頻率混疊帶來信號恢復(fù)的困難，在實踐中，可以采用復(fù)震蕩信號調(diào)制的方式。也就是將原來的信號調(diào)制在一對相位相差 90°（正交）的載波信號上，形成一對正交調(diào)制信號。在數(shù)學(xué)上，可以將這對信號看成復(fù)數(shù)的實部和虛部，所組成的復(fù)值信號的頻譜則是原來信號的頻譜往右平移，自然就沒有了混疊的問題。

▲ 復(fù)震蕩信號調(diào)制框圖

下面公式表示復(fù)指數(shù)震蕩信號的調(diào)制的過程：

下圖顯示了上面復(fù)指數(shù)調(diào)制后的實部、虛部兩路信號波形。

▲ 復(fù)指數(shù)調(diào)制后的兩路波形

如果需要恢復(fù)出原來的信號，則將原來的信號乘以前面復(fù)震蕩信號的共軛信號，所生成信號的實部就是恢復(fù)的原來信號了。

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)乘積的實部等于原來兩個復(fù)數(shù)的實部相乘，減去虛部相乘的結(jié)果。

因此對應(yīng)的復(fù)指數(shù)震蕩信號同步解調(diào)過程就是：

下圖顯示了使用復(fù)指數(shù)調(diào)制后的實部和虛部分別與相乘之后的波形（藍(lán)色，橙色），他們相加之后的波形（綠色）就是回復(fù)后的高斯波形。

▲ 進(jìn)行復(fù)指數(shù)回復(fù)后的波形

如果信號 f(t) 的幅值始終大于零 0，即 f(t)≥0，那么從復(fù)震蕩調(diào)制信號恢復(fù)原來信號還可以簡單的通過求復(fù)調(diào)制信號的幅度來恢復(fù)：