一開始見到 PID 計(jì)算公式時(shí)總會(huì)問“為什么是這樣子的一道公式”,為了理解那幾道公式,當(dāng)時(shí)將其未簡化前的公式活生生地算了一遍,現(xiàn)在想來,這樣的演算過程固然有助于理解,但假如一開始就帶著對(duì)疑問的答案已有一定抽象了解后再進(jìn)行演算則會(huì)理解的更快!
首先推薦白志剛的《由入門到精通—吃透 PID 2.0 版》看完一、二章之后,建議你先通過實(shí)踐練習(xí)然后再去看書里接下來的其他章節(jié),這樣你對(duì)這本書的掌握會(huì)更加高效。
PID 就是對(duì)輸入偏差進(jìn)行比例積分微分運(yùn)算,然后將運(yùn)算的疊加結(jié)果去控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)。實(shí)踐練習(xí)中,如何把這一原理轉(zhuǎn)化為程序?為什么是用那幾個(gè) error 進(jìn)行計(jì)算?
以下是我摘錄的一段 PID 程序,我曾用其對(duì)智能車的速度進(jìn)行閉環(huán)控制:
P:Proportional 比例
I:Integrating 積分
D:Differentiation 微分
Pwm_value:輸出 Pwm 暫空比的值
Current_error:當(dāng)前偏差
last_error:上次偏差
prev_error:上上次偏差
增量式 PID 計(jì)算公式:
P=Kp*(current_error﹣last_error);
D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error);
I=Ki*current_error;
PID_add=Pwm_value+P﹢I﹢D;
一、為什么是 PID_add=Pwm_value+(P﹢I﹢D)而不是 PID_add=P+I+D?
如上圖,有一個(gè)人前往目的地 A,他用眼睛視覺傳感器目測(cè)到距離目的地還有 100m,即當(dāng)前與目的地的偏差為 100,他向雙腳輸出Δ=100J 的能量,跑呀跑,10s 之后,他又目測(cè)了一次,此時(shí)距離為 40m,即 current_error=40,他與 10s 前的偏差 last_error=10 對(duì)比,即 current_error - last_error=-60,這是個(gè)負(fù)數(shù),他意識(shí)到自己已經(jīng)比較接近目的地,可以不用跑那么快,于是輸出Δ=100+(-60)=40J 的能量,40J 的能量他剛好以 4m/s 的速度跑呀跑,10s 之后,他發(fā)現(xiàn)已經(jīng)到達(dá)目的點(diǎn),此時(shí) current_error=0,大腦經(jīng)過思考得出 current_error—last_error=0 - 40=-40,兩腳獲得的能量Δ=40+(-40)=0,即他已經(jīng)達(dá)到目的地,無需再跑。在剛才的敘述中,可知增量式 P+I+D 輸出的是一個(gè)增量,將該增量與調(diào)節(jié)量相加后所得到值才是最終輸出量,其反應(yīng)的是之前的輸出量是在當(dāng)前的狀態(tài)中是該增加還是該減少。
二、純比例控制 P=Kp*(current_error﹣last_error),怎樣理解﹙current_error﹣last_error ﹚?
PID 中純比例控制就是把被控制量的偏差乘以一個(gè)系數(shù)作為調(diào)節(jié)器的輸出,在增量式 PID 中,反映在程序上的,我們被控制量就是 error,而實(shí)際上,例如在速度控制中 error=目標(biāo)速度﹣當(dāng)前速度,所以明確目的:我們通過控制 error 趨近于 0,最終使得當(dāng)前速度趨近于目標(biāo)速度。
如上圖,函數(shù)經(jīng)過時(shí)間Δt,由 y1 變化為 y2 時(shí),問 y 增長的比例為多少?很顯然:K=﹙y2-y1﹚/Δt;
以速度控制為例,若 y 為 error,如上圖,在時(shí)間 t1 到 t2 的過程中,我們可以得到輸出控制量 error 變化的趨勢(shì)為(current_error - last_error)/Δt。得到偏差的變化趨勢(shì)后,乘以 Kp 使輸出量與 error 相對(duì)變化。這個(gè)道理猶如模擬電子電路中,聲音信號(hào)經(jīng)過功放管放大輸出的信號(hào)與輸入信號(hào)相對(duì)應(yīng)的線性變化。
三、引進(jìn)微分控制?
然而,通常情況下,我們的被控制量并非純比例式地變化,如下圖:
比例表示變化趨勢(shì),微分則表示變化趨勢(shì)的變化率,映射到一個(gè)圖像曲線中即為導(dǎo)數(shù)的變化!上圖中若求曲線中 x2 至 x1 某點(diǎn)的斜率,當(dāng)Δt 足夠小時(shí),則可近似為(y2 - y1)/Δt ,可知 x3 到 x1 導(dǎo)數(shù)的變化為﹛(y3 - y2) -(y2 - y1)﹜/Δt =(y3 - 2*y2﹢y1)/Δt 。將不同時(shí)間的 y1、y2、y3 映射為 prev_error、last_error、current_error;則 error 變化趨勢(shì)的變化為﹛(current_error - last_error) - (last_error - prev_error)﹜/Δt=﹛﹙current_error - 2*last_error﹢prev_error﹚﹜/Δt,可得微分 D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)。在系統(tǒng)中加入微分反映系統(tǒng)偏差信號(hào)的變化率,能預(yù)知偏差變化的趨勢(shì),具有超前控制作用,提前處理偏差。
四、引進(jìn)積分控制?
積分控制可以消除偏差,體現(xiàn)在公式中較容易理解,當(dāng)前的偏差差經(jīng)過系數(shù) Ki 的放大后映射為輸出控制量,即 I=Ki*current_error。P 只要前后偏差之差為 0,即 current_error - last_current=0,則不進(jìn)行調(diào)節(jié),D 只要前后偏差變化率為 0,即(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)=0,則不進(jìn)行調(diào)節(jié)。而對(duì)于積分只要偏差存在,調(diào)節(jié)就始終進(jìn)行,因此積分可以消除誤差度,但在在某些情況下,一定范圍內(nèi)的誤差是允許的,而如果此時(shí)積分調(diào)節(jié)始終存在,可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性下降,如上圖,此時(shí)可通過弱化積分系數(shù) Ki 使系統(tǒng)穩(wěn)定。