80
卓晴老師，我一直沒(méi)想明白一個(gè)問(wèn)題，為什么卷積要先反轉(zhuǎn)再滑動(dòng)呢？不翻轉(zhuǎn)為什么不行？
▲ 孔乙己：回字有四種寫法|插圖來(lái)自網(wǎng)絡(luò)
的確，對(duì)于兩個(gè)信號(hào)之間的卷積運(yùn)算，可以理解為對(duì)其中任意個(gè)信號(hào)進(jìn)行“反褶”、“平移”、“相乘”、“積分(累加)”，最后得到卷積結(jié)果：
相比之下，相關(guān)運(yùn)算就沒(méi)有其中的“反褶”部分。但是，對(duì)于復(fù)值信號(hào)，需要對(duì)后面的信號(hào)取共軛[1]
卷積運(yùn)算滿足一些代數(shù)性質(zhì)，比如交換律、結(jié)合律、分配率，但相關(guān)運(yùn)算不滿足。
到現(xiàn)在為止，我們只是討論了這兩個(gè)運(yùn)算究竟哪里不一樣，即卷積需要先反褶，再滑動(dòng)，而相關(guān)運(yùn)算不需要反褶。但你還在問(wèn)第二個(gè)問(wèn)題：不反褶不行嗎？
首先，如果參與運(yùn)算兩個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)中，有一個(gè)信號(hào)為偶函數(shù)，那么它們的卷積運(yùn)算就和相關(guān)運(yùn)算相同了。即可以不進(jìn)行反褶。但為什么要引入帶有反褶運(yùn)算的卷積呢？
在應(yīng)用中，相關(guān)運(yùn)算主要描述的是信號(hào)與信號(hào)之間的相似關(guān)系，而卷積運(yùn)算描述的是信號(hào)與系統(tǒng)之間的關(guān)系。
相關(guān)運(yùn)算中的核心積分運(yùn)算是描述了兩個(gè)信號(hào)之間的內(nèi)積：
在線性空間中也可以引出兩個(gè)信號(hào)之間的相似程度的度量，相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果反映了兩個(gè)信號(hào)之間在不同的延遲情況下的相似性。因此可以通過(guò)尋找相關(guān)結(jié)果的峰值確定兩個(gè)信號(hào)之間的延遲關(guān)系。
卷積則是刻畫(huà)了一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入信號(hào)和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系。利用信號(hào)可以分解成沖激信號(hào)的疊加：
在利用系統(tǒng)的線性+時(shí)不變特性，可以得到系統(tǒng)的輸出就等于的卷積。
這其中的簡(jiǎn)單推導(dǎo)在任何一本講解信號(hào)與系統(tǒng)教材中都有。因此引入帶有反褶的卷積運(yùn)算是為了刻畫(huà)信號(hào)與系統(tǒng)之間的關(guān)系的。
正是由于引入了卷積運(yùn)算，所以對(duì)于任何一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，都可以將其與一個(gè)信號(hào)（系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)）一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。信號(hào)與系統(tǒng)達(dá)到了完美的統(tǒng)一。
由此，你可能還要問(wèn)：為什么系統(tǒng)的響應(yīng)中，輸入 x(t)需要與單位沖激響應(yīng) h(t)進(jìn)行卷積運(yùn)算？，只是進(jìn)行相關(guān)不行嗎？
進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算時(shí)，參與運(yùn)算的兩個(gè)信號(hào)是對(duì)等的，它們的變量都反映了信號(hào)隨著時(shí)間的過(guò)程演變的情況。但進(jìn)行卷積運(yùn)算時(shí)，其中一個(gè)信號(hào)是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，運(yùn)算結(jié)果中的變量反映了系統(tǒng)輸出結(jié)果所在的時(shí)刻，站在時(shí)刻，考察輸入信號(hào)的不同時(shí)間的取值是如何累計(jì)出系統(tǒng)的輸出的。因此，對(duì)于信號(hào)而言，它們的變量是，而不是。
對(duì)于時(shí)刻的信號(hào)所產(chǎn)生的結(jié)果，只需經(jīng)過(guò)延遲的時(shí)間，便到達(dá)了時(shí)刻了，即。將所有的所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行積分，便可以得到系統(tǒng)在時(shí)刻的取值了。
文字顯得枯燥，一圖抵千言。下面是鄭君里[2]教授的教材中對(duì)此進(jìn)行的圖片描述。還是挺形象的。
▲ 信號(hào)的分解與系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)
在中國(guó)科學(xué)網(wǎng)[3]也有很多教授對(duì)系統(tǒng)輸出的卷積運(yùn)算中的反褶進(jìn)行了很好的討論，比如曹廣福老師在我來(lái)說(shuō)卷積中，討論了連續(xù)和離散時(shí)間卷積運(yùn)算，并把離散卷積看成級(jí)數(shù)運(yùn)算。許志強(qiáng)在卷積是什么？的博文中，將卷積看成加權(quán)平均積。王一哲在卷積的理解及應(yīng)用中給出了很多圖形方面的解釋。
所以，你提到的卷積運(yùn)算中的奇怪的反褶過(guò)程，實(shí)際上引起過(guò)很多人的疑問(wèn)以及對(duì)此的討論。
可能最后，你還要問(wèn)：既然，卷積運(yùn)算和相關(guān)運(yùn)算這么相近，為什么非要定義這個(gè)卷積，直接就定義成反褶+相關(guān)不就行了嗎？
這個(gè)話就長(zhǎng)了，雖然根據(jù) 奧卡姆剃刀原理[4]，可以盡可能減少概念、定理的數(shù)量來(lái)滿足數(shù)學(xué)上的精簡(jiǎn)需求。但在工程中，人們還是喜歡偷懶。更有甚者，還采用掛羊頭，賣狗肉的做法，對(duì)一些本質(zhì)相同的運(yùn)算，委以不同的名稱，雖然還達(dá)不到擾亂視聽(tīng)的，但也是一種約定俗稱，比如像 離散周期序列傅里葉級(jí)數(shù)分解（DTFS）、離散傅里葉變換（DFT）、 快速傅里葉變換（FFT）**本質(zhì)上的數(shù)學(xué)概念是一樣的。
這樣也沒(méi)什么不好的，就連孔乙己都知道“回”字有四種寫法[5]呢。
▲ 康熙字典中的四種回字寫法
參考資料
[1]共軛: 復(fù)數(shù)呈現(xiàn)共軛關(guān)系是指它們的實(shí)部相同，虛部相反
[2]鄭君里: 937 年至 2019 年 4 月 14 日），1961 年畢業(yè)于清華大學(xué)無(wú)線電系。曾任清華大學(xué)電子工程系教授、通信與信息系統(tǒng)專業(yè)博士生導(dǎo)師。中國(guó)電子學(xué)會(huì)電路與系統(tǒng)學(xué)會(huì)委員、中國(guó)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)委員會(huì)委員。
[3]中國(guó)科學(xué)網(wǎng): http://www.sciencenet.cn/
[4]奧卡姆剃刀原理:https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%A5%E5%8D%A1%E5%A7%86%E5%89%83%E5%88%80%E5%8E%9F%E7%90%86/10900565?fr=aladdin
[5]回字有四種寫法: https://guoxue.ifeng.com/a/20161210/50395689_0.shtml
