01 非線性共振

共振是指動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在施加周期作用力下所產(chǎn)生的最大運(yùn)動(dòng)幅度的物理現(xiàn)象。那么，什么是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)？，什么是周期激勵(lì)？下面在介紹探究實(shí)驗(yàn)之前先將這些基本概念進(jìn)行闡述。

一、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

1、定義

名稱通常用于表述日常遇到的物體。比如，你看到由四個(gè)輪子支撐的金屬框架，行進(jìn)在高速公路上，汽車這個(gè)詞語就會(huì)浮現(xiàn)在我們的腦海里。定性描述則可以讓我們的溝通和描述物體更加輕松，盡管它極其有用，但還不足以描述我們周圍事物全部的復(fù)雜性。定量描述則對于某些特殊細(xì)節(jié)刻畫顯得非常必要。一組關(guān)于尺寸、溫度、質(zhì)量等物理量可以提供更加清晰的刻畫。大多數(shù)情況下，一個(gè)物體某些特性定量描述會(huì)保持恒定，但有些復(fù)雜的物體則需要特殊的定量描述，例如那些隨著時(shí)間變化的物理量。

舉一個(gè)容易理解的例子，一朵花的尺寸隨著時(shí)間它不斷的變化。描述花兒的尺寸需要使用到一個(gè)有關(guān)時(shí)間的函數(shù)。自然界中很多其它演變的例子呈現(xiàn)很多迷人的特性。

2、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)舉例

• 秋千 ：它的運(yùn)動(dòng)是周期性將勢能與動(dòng)能之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；種群增長：種群數(shù)量的周期性的增加與減少反映了獵食者與被獵食者之間的相互作用和轉(zhuǎn)換；人的大腦：集中在神經(jīng)元之間的周期化學(xué)信號(hào)變化；

▲ 圖1.1.1  秋千與玩耍的小朋友

二、周期激勵(lì)

1、定義

力通常會(huì)引起變化，通常事物改變自己的狀態(tài)過程中依靠力來進(jìn)行能量的轉(zhuǎn)換。比如，桌面原本靜置的茶杯在某一方向力的作用下會(huì)改變位置。如果物體所承受的作用力隨著時(shí)間不斷變化，就有可能形成周期作用力。比如你在推動(dòng)坐在秋千上兒童的力就是一個(gè)周期作用力，這是因?yàn)槟阒辉谇锴н_(dá)到最高點(diǎn)時(shí)施加推力。這種引起系統(tǒng)或者物體變化的外部作用力被稱為周期激勵(lì)。

2、周期激勵(lì)舉例

• 人的感覺器官：比如人的眼睛就是接受特殊電磁波（周期震蕩電磁場）的感官；人的耳朵聽到聲音也是收到空氣中的周期震蕩信號(hào)引起的響應(yīng)；季節(jié)變化：對于生物系統(tǒng)來講，季節(jié)的變化就是外部施加的周期（一年時(shí)長）激勵(lì)信號(hào)；交流電：電路輸入端的交流信號(hào)可以電路內(nèi)部狀態(tài)的變化；

在定義了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)以及周期激勵(lì)信號(hào)之后，我們可以考察一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在周期激勵(lì)作用下的動(dòng)態(tài)特性。比如對于乘坐在秋千上的小朋友施加的周期推力持續(xù)增加，并且周期與秋千的擺動(dòng)周期恰好一致。毋庸置疑，按照自然規(guī)律所產(chǎn)生的的結(jié)果會(huì)令人吃驚。

三、共振

1、什么是共振？

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在周期激勵(lì)下產(chǎn)生最大震動(dòng)幅度的現(xiàn)象被稱為共振。例如，恰好與秋千擺動(dòng)頻率相同作用的周期推力盡管小但仍然可以將秋千推動(dòng)起來。你若不信可以自己坐在秋千上，讓一個(gè)小盆友周期推動(dòng)你，稍花費(fèi)一點(diǎn)時(shí)間便可以推動(dòng)到很大的擺幅。此時(shí)，我們稱秋千系統(tǒng)與小盆友推力之間形成的共振。

2、為什么共振重要？

實(shí)際上我們生活的方方面面都離不開共振，比如：

• 無線通訊：無線通訊就是利用了電子線路與電磁波之間的共振現(xiàn)象；核磁共振：利用核磁共振，也就是原子核與交變磁場之間的共振現(xiàn)象，讓我可以了解生物料理更多的性質(zhì)；塔科馬峽谷懸索橋?yàn)?zāi)難：如果你忽略共振的威力，有可能會(huì)導(dǎo)致災(zāi)難。例如很小的風(fēng)的擾動(dòng)曾經(jīng)引起塔科馬峽谷懸索橋的崩塌?，F(xiàn)在人們對于此次塌橋事件是否真的是由共振引起還在爭論。毋庸置疑，塔科馬大橋的崩塌是周期作用力下共振現(xiàn)象的最高例證。

▲ .塔科馬懸索橋共振現(xiàn)象

Chladni 平板共振現(xiàn)象：在一個(gè)平板上引入聲音震動(dòng)，利用平板上的分布的砂礫可以顯示不同頻率下平板震動(dòng)的模式，它將聲音對應(yīng)的不同震動(dòng)幾何模式活靈活現(xiàn)的表現(xiàn)出來。

▲ 圖1.3.2  Chladni 平板共振現(xiàn)象

聲音震碎酒杯 ：可以顯示對應(yīng)特殊頻率的聲音可以引起酒杯的共振，進(jìn)而酒杯破碎。

3、混沌系統(tǒng)共振？

利用電路來研究共振現(xiàn)象，相比起其它手段更加有效。它可以通過修改電路中元器件參數(shù)來改變電路的動(dòng)態(tài)特性。1983年， Leon O Chua 提出了一個(gè)簡單電路模型可以演示出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的 混沌現(xiàn)象。利用Chua 混沌電路可以讓我們進(jìn)一步了解非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一些不為人知的特性。

這就有意思了。前面所談到的很多共振都是發(fā)生在線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中。對于一個(gè)呈現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)特性的混動(dòng)系統(tǒng)，它會(huì)在外部施加的激勵(lì)信號(hào)下能夠產(chǎn)生什么樣的最大幅值的輸出信號(hào)呢？

由于Chua給出的混動(dòng)電路，非常經(jīng)典，簡單。有很好的的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述。所以無論使用數(shù)學(xué)仿真，還是搭建實(shí)際電路都非常方便人們來研究混沌電路系統(tǒng)的共振現(xiàn)象。

如果你對此感興趣，在 Investigating Non-Linear Resonance in Chua[2] 中， Gabriel St-Pierre 給出了有利于初學(xué)者進(jìn)行一步一步實(shí)驗(yàn)的具體描述。

▲ 圖1.3.3 非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)共振探究項(xiàng)目結(jié)構(gòu)

02 共振實(shí)驗(yàn)

一、利用Mathematical研究理論研究

通過網(wǎng)頁上給出的GitHub上可以下載的 Mathematica程序，可以方便的對Chua混沌電路進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。通過實(shí)驗(yàn)可以知道：

各種非線性共振的具體形式是什么？描述Chua混沌系統(tǒng)共振的參數(shù)以及原因是什么？

▲ 圖2.1.1 Mathematica數(shù)學(xué)仿真結(jié)果

下面是在Mathematica中進(jìn)行軟件仿真提供的界面?？梢院芊奖阍O(shè)置外部激勵(lì)信號(hào)的參數(shù)，以便觀察系統(tǒng)輸出信號(hào)的形式。

▲ 圖2.1.2 Mathematica 軟件實(shí)驗(yàn)界面

對于像混沌電路這樣的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來說，除了常規(guī)的共振現(xiàn)象之外，還有以下各種共振現(xiàn)象：

• 隨機(jī)共振現(xiàn)象：Stochastic Resonance擺動(dòng)共振現(xiàn)象：Vibrational Resonance詭異共振現(xiàn)象：Ghost Resonance相干共振現(xiàn)象：Coherence Resonance自共振現(xiàn)象，相鎖定共振：Autoresonance, Phase-Locked Phenomenon參數(shù)共振：Parametric  Resonance

上述共振概念可以在給定的網(wǎng)頁中找到初步的定義。

▲ 圖2.1.3 在不同的激勵(lì)信號(hào)下研究各種共振現(xiàn)象

▲ 圖2.1.4 研究系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)如何影響相同特性的

▲ 圖2.1.5 用于描述系統(tǒng)線性和非線性特性參數(shù)

這的確開闊了我們對于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)共振的認(rèn)知。

二、利用LPSpice電路仿真

利用電路仿真軟件來驗(yàn)證Chua混沌電路的運(yùn)行特性。

▲ 圖2.2.1 利用LPSpice獲得的Chua電路的運(yùn)行波形

▲ 圖2.2.2 用于LPSpice 電路仿真的電路圖

▲ 圖2.2.3 無外部激勵(lì)信號(hào)下混沌信號(hào)的頻譜圖

▲ 圖2.2.4 在外部信號(hào)作用下的信號(hào)頻譜圖

▲ 圖2.2.5 對于不同頻率下共振相應(yīng)Q因子

三、搭建測試電路

任何仿真都是對研究對象的近似。實(shí)際物理系統(tǒng)中仍然存在著大量現(xiàn)象是仿真所無法揭示的。** Gabriel St-Pierre** 最后給出了制作Chua混沌電路PCB設(shè)計(jì)制作的文檔。可以方便搭建多個(gè)混沌電路系統(tǒng)，來進(jìn)行實(shí)際信號(hào)的測量觀察。

▲ 圖2.3.1 Chua混沌電路設(shè)計(jì)制作

▲ 圖2.3.2 電路原理圖主圖

▲ 圖2.3.3 Chua非線性二極管子圖

▲ 圖2.3.4 實(shí)驗(yàn)使用的PCB電路板

▲ 圖2.3.5 電路板三維圖

▲ 圖2.3.6 成品電路板

▲ 圖2.3.7 焊接好的電路板

▲ 圖2.3.8 研究在不同的激勵(lì)信號(hào)下的系統(tǒng)輸出

▲ 圖2.3.9 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

▲ 圖2.3.10 測量在不同的電位器下電路的輸出信號(hào)

▲ 圖2.3.11 電路在不同的外部激勵(lì)信號(hào)下的輸出信號(hào)

▲ 圖2.3.12 共振信號(hào)在級(jí)聯(lián)混沌系統(tǒng)中的傳播

03 結(jié)論

這也許是我看到的最有趣的關(guān)于混沌電路系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書。在傳統(tǒng)的混沌電路的基礎(chǔ)上可以展示出一些特殊的共振現(xiàn)象。這些現(xiàn)象不僅開展了我們對于動(dòng)態(tài)豐富現(xiàn)象的認(rèn)知，也為未來構(gòu)建類腦模擬計(jì)算提供了一些新的思路。

如果你感興趣，不妨試試這些優(yōu)美的電路。

參考資料

[1]Investigating Non-Linear Resonance in Chua: https://www.instructables.com/Investigating-Non-Linear-Resonance-in-the-Chuas-Ci/

[2]Gabriel St: https://linktr.ee/gabrielstpierre